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Mathématiques

Les thèmes

1er cycle

Arithmétique
Algèbre
Probabilités
Statistiques
Géométrie
Géométrie analytique

2e cycle

Géométrie
Arithmétique et algèbre
Probabilités
Statistiques

Premier cycle (1ere et 2e secondaires)

Notions et compétences prioritaires
Au premier cycle du secondaire, plusieurs notions/compétences abordées au primaire sont réutilisées, approfondies et enrichies. Les apprentissages se poursuivent et permettent progressivement à l’enfant d’interpréter le réel, de généraliser, d’anticiper, de prendre des décisions. Il continue à se construire un ensemble de concepts et processus porteurs de sens pour communiquer mathématiquement de façon adéquate, pour raisonner efficacement en établissant des liens entre tous les concepts et les processus mathématiques et pour résoudre des problèmes.

Légende :
*** : L’élève le fait par lui-même à la fin de secondaire 1.
### : L’élève apprend à le faire avec l’intervention de l’enseignante ou de l’enseignant tout au long du 1er cycle et le réutilise au 2ième cycle.

Pour toutes les autres notions/compétences, l’élève apprend à le faire avec l’intervention de l’enseignante ou de l’enseignant en secondaire 1 puis le fait par lui-même à la fin de secondaire 2.

Temps moyen suggéré : 30 – 45 minutes/jour

Arithmétique
Au 1er cycle du secondaire, on poursuit le développement du sens du nombre et des opérations en mathématisant des situations, en anticipant des résultats numériques d’opérations et en les interprétant selon le contexte. De plus, on commence à développer le raisonnement proportionnel dont les applications sont nombreuses comme par exemple, lorsqu’on compare et interprète les pourcentages, les rapports et les taux dans des contextes variés (rabais, taxe, agrandissement, réduction, etc.).

Sens du nombre réel
- Reconnaître différents sens de la fraction (partie d’un tout, division, rapport, opérateur, mesure) et ses différentes formes
- Représenter et écrire la puissance d’un nombre naturel, des carrés et des racines carrées de nombres, des nombres en notation exponentielle (exposant entier)
- Reconnaitre et représenter des nombres exprimés sous différentes formes (fractionnaire, décimale, exponentielle avec exposants entiers) ***
- Faire une approximation dans différents contextes selon les nombres à l’étude *** (ex. : estimation, arrondissement, troncature) et estimer l’ordre de grandeur d’un nombre réel dans différents contextes ###
- Définir sans formalisme et avec des exemples le concept de valeur absolue en contexte (ex. : écart entre deux nombres, distance entre deux points) ###

Sens des opérations sur des nombres réels
- Représenter ou traduire (mathématiser) une situation par une opération ou une chaîne d’opérations (avec au plus deux niveaux de parenthèses). Exploiter les différents sens des opérations ***
- Rechercher des expressions équivalentes : décomposer des nombres (additive, multiplicative, etc.); rechercher des fractions équivalentes, simplifier et réduire des expressions, effectuer une mise en évidence simple, etc ***

Opérations sur des nombres réels
- Utiliser dans différents contextes les caractères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 10 ***
- Faire une approximation du résultat d’une opération ou d’une chaîne d’opérations
- Effectuer par écrit et à l’aide d’une calculatrice les quatre opérations avec des nombres facilement manipulables en recourant à des écritures équivalentes, en s’appuyant sur les propriétés des opérations et en appliquant les règles des signes ***
- Effectuer par écrit et à l’aide d’une calculatrice des chaînes d’opérations d’au plus deux niveaux de parenthèses en respectant la priorité des opérations, en recourant à des écritures équivalentes et en s’appuyant sur les propriétés des opérations ***

Sens et analyse de situations de proportionnalité
- Calculer le cent pour cent
- Les rapports et les taux
- Reconnaitre et interpréter ; décrire l’effet de la modification d’un terme ; comparer qualitativement et quantitativement (équivalence et taux unitaire) ; traduire une situation à l’aide de rapports et taux
- Les situations de proportionnalité
- À partir d’un contexte, d’un graphique, d’une table de valeurs ou d’une proportion, reconnaitre, représenter et interpréter une situation de proportionnalité
- Résoudre des situations de proportionnalité (de variation directe ou inverse) à l’aide de différentes stratégies (ex. : retour à l’unité, facteur de changement, coefficient de proportionnalité, procédé additif, produit constant)

Algèbre
Au 1er cycle du secondaire, on assiste au passage de la pensée arithmétique à la pensée algébrique. Principalement par l’observation de régularités dans les suites de nombres, on réinvestit les propriétés des opérations arithmétiques et on introduit les idées de variable, de dépendance entre des variables et de généralisation à l’aide d’une règle, d’une équation. Les expressions algébriques s’ajoutent aux modes de représentation et on développe la capacité à passer d’un mode de représentation à un autre pour analyser des situations de façon appropriée et efficace.

Sens et manipulation des expressions algébriques

Les expressions algébriques
- Décrire le rôle des composantes des expressions algébriques (inconnue, variable, constante, coefficient, terme, terme constant, termes semblables, degré d’un terme)
- Interpréter une expression algébrique selon le contexte ou en construire une à partir d’un registre (mode) de représentation
- Reconnaître ou construire des expressions algébriques équivalentes, des égalités et des équations

La manipulation d’expressions algébriques
- Calculer la valeur numérique d’expressions algébriques
- Effectuer des opérations sur des expressions algébriques (addition et soustraction, multiplication et division par une constante, multiplication de monômes du premier degré)

L'analyse de situations à l'aide d'équations
- Reconnaître si une situation peut se traduire par une équation et la représenter à l’aide d’une équation du premier degré à une inconnue
- Reconnaître, manipuler (isoler un élément) ou construire des relations ou des formules
- Transformer des égalités arithmétiques et des équations pour en conserver l’équivalence (propriétés et règles de transformation, principe d’équivalence) et justifier les étapes suivies, au besoin
- Utiliser différentes méthodes pour résoudre (trouver la solution) des équations du premier degré à une inconnue se ramenant à la forme ax + b = cx + d (par ex. des essais systématiques, des dessins, des méthodes arithmétiques (opérations inverses ou équivalentes), des méthodes algébriques (méthodes de l’équilibre ou du terme caché))
- Valider une solution, avec ou sans outils technologiques, notamment par substitution et l’interpréter selon le contexte

Sens des liens de dépendance
- Analyser des situations et les représenter globalement par un graphique (relations entre des variables)

Probabilités
Au 1er cycle du secondaire, on passe d’un raisonnement subjectif, de prédictions principalement qualitatives à propos des expériences liées au concept de hasard, à un raisonnement basé sur différents calculs. On approfondit le concept d’événement, on apprend à dénombrer des possibilités en utilisant différents modes de représentation et à calculer des probabilités. Les expériences, les situations concrètes et les jeux facilitent l’apprentissage et la compréhension des phénomènes aléatoires.

Traitement de données tirées d'expériences aléatoires
- Réaliser ou simuler des expériences aléatoires à une ou plusieurs étapes (avec ou sans remise, avec ou sans ordre)
- Définir l’univers des possibles et dénombrer les résultats possibles d’une expérience aléatoire à l’aide de réseaux, grilles, schémas, diagrammes de Venn
- Reconnaître des types d’événements (certains, probables, impossibles, élémentaires, complémentaires, compatibles, incompatibles, dépendants, indépendants)

Analyse de situations à caractère probabiliste
- Distinguer la probabilité théorique de la probabilité fréquentielle
- Calculer la probabilité d’un événement et l’interpréter

Statistiques
Au 1er cycle du secondaire, on enrichit le réseau d’outils et de langage statistiques. En réalisant des études à l’aide de sondages et de recensements, on s’approprie des outils pour traiter des données et pour en tirer des informations. On choisit le ou les diagrammes qui permettent d’illustrer une situation de façon appropriée. On apprend à mettre en évidence des informations d’une distribution de données, telles que le minimum, le maximum, l’étendue et la moyenne, et à chercher d’éventuelles sources de biais de l’étude.

Analyse et prise de décisions impliquant des distributions à un ou deux caractères à l’aide d’outils statistiques

Analyse de données statistiques
- Interpréter des données présentées dans un tableau ou dans un diagramme.
- Comparer des distributions à un caractère
- Distinguer différents types de caractères statistiques : qualitatif, quantitatif discret ou continu

Réalisation d’un sondage ou d’un recensement
- Questions d’enquête, collecte de données, source de biais
- Choisir une méthode d’échantillonnage appropriée (aléatoire simple, systématique) et un échantillon représentatif

Organiser et représenter des données
- Tableau
- Diagramme à bandes
- Diagramme à ligne brisée
- Effectifs et fréquences
- Diagramme circulaire

Les mesures statistiques
- Comprendre, calculer et interpréter la moyenne arithmétique
- Déterminer, choisir et interpréter des mesures de dispersion (l’étendue) ou des mesures de position (minimum, maximum)

Géométrie
Au 1er cycle du secondaire, on construit et on manipule des relations ou des formules dans le calcul du périmètre et de l’aire de figures géométriques. On introduit le concept de figures semblables dans l’étude des transformations géométriques, en mettant à profit le concept de proportionnalité. On dégage des propriétés et des relations entre des grandeurs dans l’étude des droites remarquables, des figures planes et des solides. On s’initie au raisonnement déductif en recourant à différentes définitions, propriétés ou conjecture pour justifier les étapes d’une démarche. On peut utiliser la pensée géométrique et le sens spatial dans des activités quotidiennes ou dans différentes situations sociales par exemple, se repérer dans l’espace, lire une carte géographique, évaluer une distance, etc.

Sens spatial et analyse de situations faisant appel à des figures géométriques
- Justifier des affirmations à partir de définitions ou de propriétés de figures planes, isométriques, semblables ou équivalentes ; à partir de définitions ou de propriétés des objets géométriques et de leurs mesures

Figures planes
- Reconnaître et nommer des polygones réguliers convexes *** et décrire des disques et des secteurs
- Décomposer des figures planes en secteurs (disques), en triangles ou en quadrilatères
- Reconnaître et construire des segments et des droites remarquables (diagonale, hauteur, médiane, médiatrice, bissectrice, apothème, rayon, diamètre, corde)
- Dégager des propriétés des figures planes à partir de transformations et de constructions géométriques

Constructions et transformations géométriques
- Reconnaître et construire l’isométrie (translation, rotation et réflexion) associant deux figures
- Reconnaître des homothéties de rapport positif et construire l’image d’une figure par une homothétie

Figures isométriques, semblables ou équivalentes
- Reconnaître des figures isométriques ou semblables et déterminer leurs propriétés et leurs invariants

Solides
- Déterminer les développements possibles d’un solide ou nommer le solide correspondant à un développement
- Décrire des solides en termes de hauteur, apothème, face latérale
- Reconnaître des solides décomposables en prismes droits, cylindres droits, pyramides droites

Analyse de situations faisant appel à des mesures

Temps
- Distinguer durée et position dans le temps (incluant le concept de temps négatif, défini à partir d’un temps 0 choisi arbitrairement)

Angles
- Rechercher des mesures manquantes d’angles d’un triangle *** et d’angles au centre en degrés à partir des propriétés
- Caractériser différents types d’angles (complémentaires, supplémentaires, adjacents, opposés par le sommet, alternes-internes, alternes-externes et correspondants) et rechercher des mesures d’angles en utilisant les propriétés de ces types d’angle

Longueurs et aires
- Établir des relations entre les mesures de longueur du système international (SI) ***
- Construire les relations permettant de calculer le périmètre, la circonférence ou l’aire de figures planes
- Rechercher, à partir des propriétés des figures et des relations, des mesures manquantes)

Géométrie analytique
Au premier cycle du secondaire, on continu à développer l’habileté à repérer des points dans le plan cartésien selon les types de nombres à l’étude, notamment pour représenter globalement une situation par un graphique.

Repérage
- Effectuer des activités de repérage sur un axe avec les nombres en notation décimale ou fractionnaire, positifs ou négatifs
- Repérer un point dans le plan cartésien (abscisse et ordonnée d’un point)

Deuxième cycle (3e, 4e et 5e secondaires)

Notions et compétences prioritaires
Pour le 2e cycle en Mathématique, il est pertinent de rappeler que les programmes de mathématiques sont construits dans trois séquences spécifiques :

  1. Culture, société et technique
  2. Technico-sciences
  3. Sciences naturelles

Ces séquences sont caractérisées par des orientations et des objectifs spécifiques. Elles répondent à des besoins différents des élèves. Bien que les priorités du 2e cycle reposent sur celles établies au premiers cycle, la Chaire a construit des priorités spécifiques pour chaque séquence au 2e cycle.

Géométrie

Tronc commun secondaire 3, secondaire 4 CST, TS et SN (Avec de l’aide en sec 3 et ensuite par lui-même en secondaire 4, toutes les séquences)

Géométrie analytique
- Utiliser le concept d’accroissement pour :

• calculer la distance entre deux points

• calculer et interpréter une

• déterminer les coordonnées d’un point de partage selon un rapport donné, y compris les coordonnées du point milieu (en secondaire 4 CST et TS seulement)

- Déterminer la position relative de deux droites à partir de leur pente respective
- Modéliser graphiquement et algébriquement une situation en recourant à des droites

Secondaire 3

Solides
- Reconnaître des solides décomposables en prismes droits, cylindres droits, pyramides droites, en cônes droits et en boules
- Représenter, dans le plan, des figures à trois dimensions à l’aide de différents procédés :

        • développement
        • projections et perspectives

- Reconnaître et construire des segments et des droites remarquables : cathète et hypoténuse

Mesure
- Rechercher, à partir des propriétés des figures et des relations, les mesures suivantes :

        • mesure de segments d’un solide provenant d’une isométrie ou d’une similitude

        • mesure de côtés dans un triangle rectangle à l’aide de la relation de Pythagore

        • aire de figures ou volume de solides issues d’une similitude ou d’une isométrie

        • aire de la sphère, aire latérale ou totale de cônes droits et de solides décomposables

        • volume de prismes droits, de cylindres droits, de pyramides droites, de cônes droits et de boules et de solides décomposables

- Établir des relations entre les unités de volume du SI (incluant les mesures de capacité)
- Justifier des affirmations relatives à des mesures de volume ou de capacité ou encore relatives à la relation de Pythagore

Tronc commun secondaire 4 CST, TS et SN

- Rechercher des mesures manquantes dans un triangle rectangle à l’aide :
des relations métriques (les mesures moyennes proportionnelles)
des rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente)
- Rechercher des mesures manquantes dans un triangle quelconque à l’aide :
        • de la loi des sinus (CST et SN)
        • de la loi des cosinus (SN)
        • de la formule de Héron (CST)
- Calculer l’aire d’un triangle quelconque à partir de :
la mesure d’un angle et de deux côtés
la mesure de deux angles et d’un côté
- Justifier des affirmations relatives aux relations métriques ou trigonométriques
- Modéliser, avec ou sans outils technologiques, une situation en recourant à des droites parallèles et des droites perpendiculaires (en recourant à un demi-plan en TS et SN)
- Déterminer l’équation d’une droite à l’aide de la pente et d’un point ou à l’aide de deux points (facultatif en CST)
- Déterminer l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre (facultatif en CST)

Secondaire 4 SN

Figures isométriques, semblables ou équivalentes
- Reconnaître des figures équivalentes (figures planes ou solides)
- Rechercher, à partir des propriétés, des figures et des relations, les mesures manquantes suivantes :
• mesure de segments ou périmètres issus de figures équivalentes
• aire de figures équivalentes et volume de solides équivalents

Arithmétique et algèbre (notions relatives aux relations, fonctions et réciproques)

Pour les fonctions énumérées dans chaque niveau :

  1. Modéliser une situation verbalement, algébriquement, graphiquement, à l’aide d’une table de valeurs ou d’un nuage de points
  2. Rechercher la règle d’une fonction ou de sa réciproque, selon le contexte
  3. Représenter et interpréter la réciproque
  4. Interpréter des paramètres (multiplicatifs ou additifs) et décrire l’effet de leur modification (de façon intuitive en secondaire 3 et en secondaire 4 CST, seulement les paramètres multiplicatifs en secondaire 4 TS)
  5. Décrire les propriétés des fonctions réelles : domaine, image, variation (croissance, décroissance), signe, extrémums, coordonnées à l’origine (de façon intuitive en secondaire 3 et à l’aide de représentation graphique en secondaire 4 CST, toujours en relation avec le contexte)
  6. Déterminer des valeurs ou des données à l’aide de la résolution d’équations et d’inéquations

Secondaire 3

- Reconnaitre des relations, des fonctions et des réciproques
- Déterminer la variable dépendante et la variable indépendante selon le contexte
- Résoudre des systèmes d’équations du 1er degré à deux variables de la forme y = ax + b (à l’aide de tables de valeurs ou graphiquement)

Fonctions à l'étude :
- Fonction polynomiale de degré 0 ou 1
- Fonction rationnelle de la forme f(x) = k/x ou xy = k, où k est rationnel positif

Tronc commun secondaire 4 CST, TS et SN

Fonctions à l'étude :
- Fonctions polynomiales du second degré de la forme f(x) = ax2
- Fonction exponentielle de la forme f(x) = acx
- Fonctions définies par parties (de façon informelle en secondaire 3)
- Fonctions en escalier

Tronc commun secondaire 4 CST et TS

Fonctions à l'étude :
- Fonctions qui modélisent des phénomènes périodiques (par ex. : phénomènes naturels comme la marée ou le son, des phénomènes médicaux ou électriques). L’analyse se fait à partir de représentations graphiques et la recherche de la règle n’est pas exigée.

Tronc commun secondaire 4 TS et SN

Fonctions à l'étude :
- Fonctions polynomiales du second degré de la forme : f(x) = a(bx)2 ou f(x) = (bx)2
- Fonction exponentielle de la forme f(x) = acbx
- Fonction partie entière de la forme f(x) = [bx]

Secondaire 4 TS

Fonctions à l'étude :
- Fonction racine carrée (en relation avec la fonction du second degré à titre de réciproque.
- Fonctions logarithmiques (en relation avec la fonction exponentielle à titre de réciproque) de la forme f(x) = alogcbx

Secondaire 4 SN

Fonctions à l'étude :
- Fonctions polynomiales du second degré sous différentes formes (fonctionnelle, canonique, factorisée, fonction partie entière)

Probabilités

Secondaire 3

- Reconnaître le type de variable aléatoire : discret ou continu
- Dénombrer les résultats possibles d’une expérience aléatoire à l’aide de de tableaux, d’arbres, de diagrammes ou de figures géométriques
- Calculer la probabilité de résultats d’expériences aléatoires associées à des situations pouvant faire appel à des arrangements, des permutations ou des combinaisons
- Calculer des probabilités, dont les probabilités géométriques, dans des contextes de mesure

Secondaire 4 TS

- Calculer des probabilités conditionnelles
- Définir et interpréter les concepts de chance, d’espérance mathématique et d’équité
- Distinguer des événements mutuellement exclusifs des événements non mutuellement exclusifs ainsi que des événements dépendants des événements indépendants
- Reconnaître, selon le contexte, le type de probabilités (fréquentielle, théorique, subjective) et l’associer à une situation

Statistiques

Tronc commun secondaire 3, secondaire 4 CST, TS et SN

- Analyser à l’aide d’outils appropriés et prendre des décisions concernant des situations qui comportent une distribution à un (secondaire 3) ou deux caractères (secondaire 4)
- Organiser et choisir certains outils permettant de recueillir des données issues d’une population ou d’un échantillon, ou d'en rendre compte
- Comparer des distributions ou critiquer une collecte de données, la représentation utilisée ou les résultats obtenus.
- Organiser et représenter des données à l’aide de :

• Tableaux à données condensées ou groupées en classes, d’histogrammes et de diagrammes de quartiles (secondaire 3)

• Diagrammes à tige et à feuilles, de nuages de points (secondaire 4 CST)

- Déterminer et interpréter des mesures de tendance centrale, de dispersion et de position : mode, médiane, moyenne pondérée, étendue de quarts et étendue interquartile (secondaire 3), écart-moyen (secondaire 4 CST et TS), rang centile (secondaire 4 CST), écart-type (secondaire 4 TS)

Secondaire 3

- Comprendre et choisir les méthodes d’échantillonnages (stratifié, par grappes)

Tronc commun CST, TS et SN

- Représenter des données à l’aide d’un nuage de points ou d’un tableau de distribution à double entrée
- Associer à un nuage de points un modèle fonctionnel le mieux ajusté
- Interpréter ou décrire le lien unissant deux variables et selon la situation, observer que certains modèles de corrélation ne sont pas linéaires
- Représenter algébriquement ou graphiquement la droite de régression (incluant les méthodes par la droite médiane-médiane ou la droite de Mayer)
- Interpoler ou extrapoler des valeurs à l’aide de la droite de régression (CST et SN) ou à l’aide du modèle fonctionnel le mieux ajusté à la situation (TS)
- Approximer le coefficient de corrélation par la méthode graphique du rectangle englobant les données et interpréter qualitativement une corrélation (forte, moyenne, faible, nulle)
- Déterminer la valeur du coefficient de corrélation à l’aide de la technologie

Ce document a été rédigé par Stéphane Cyr et Stéphanie Sampson.